기초 통계 요약

확률과 통계를 상징하는 일러스트레이션

1. 확률분포표

  1. 경우의 수: 1회의 시행으로 일어날 수 있는 사건의 가짓수
  2. 확률: 특정 사건이 일어날 경우의 수 / 모든 사건 경우의 수
  3. 확률분포: 확률변수(Random Variable)가 취할 수 있는 모든 값과, 그 값이 나타날 확률을 표 형태로 짝지어 나타낸 것

    1~10중 3개를 선택하는 경우

    • 짝수 1개를 선택하는 경우의 수 50 = 5×10 = 5C1(짝수조합) × 5C2(홀수조합)
    • 짝수 1개를 선택할 확률 6.94% = 50 / 720 = (5C1 × 5C2) / 10C3
    • 짝수의 개수를 X라고 했을 때 확률분포
      • P(0) = X가 0일 확률
      • P(1) = X가 1일 확률
      • P(2) = X가 2일 확률
      • P(3) = X가 3일 확률
    • 확률분포료
      X 0 1 2 3 계
      P(X) P(0) P(1) P(2) P(3) 1
  4. 확률분포표의 작성순서
    1. 행렬의 구획
    2. A열1행에 X, A열2행에 P(X) 작성
    3. 1행에 변수 X가 가질 수 있는 모든 값 나열
    4. 1행 마지막 열에 “합계"와 2행 마지막 열에 값 1 작성
    5. 2행에 각 변수일 때의 확률 작성

(예제) 확률변수 X의 확률분포를 나타낸 표가 다음과 같을 때, 상수 a의 값

X 1 2 3 4 합계
P(X) a2 (1/3)a 1/6 1/6 1

a2+(1/3)a+1/6+1/6=1
→ a2+(1/3)a-2/3=0
→ (3a-2)(a+1)=0
→ a = 2/3, -1

(예제) 이산확률변수 X의 확률분포가 다음과 같을 경우 P(X≤2)의 값

X 1 2 3 합계
P(X) a a+1/9 a+1/3 1
  • 3a+4/9=1
  • a=5/27
  • P(X≤2) = 13/27

(예제) 확률변수 X의 확률질량함수가 P(X=x) = k(x-2) (x=3,6,9) 일때 상수 k의 값은?

X 3 6 9 합계
P(X) k 4k 7k 1
  • k=1/12

2. 평균, 분산, 표준편차(1)

  1. 평균 E(X)

    • (의미) 확률분포의 중심을 나타내는 값으로 결과들이 평균적으로 수렴하는 값
    • (산출) 각 변수값과 그에 따른 확률을 곱한 값의 합

  2. 분산 V(X)

    • (의미) 값이 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 제곱해서 평균낸 값
    • (산출) E(X2)(제곱의 평균) - {E(X)}2(평균의 제곱)

  3. 표준편차 σ(X)

    • (의미) 분산을 제곱근으로 되돌려 원래 단위로 표현한 값
    • (산출) √V(X)

      확률변수 X의 확률분포가 다음과 같을 때 평균, 분산, 표준편차는?

      X 0 1 2 합계
      P(X) 1/4 1/4 1/2 1
      • E(X) = 1.25 = (0×1/4)+(1×1/4)+(2×1/2)
      • V(X) = 11/16 = 9/4 - 25/16 = {(1×1/4) + (4×1/2)} - (5/4)2
      • σ(X) = √11/4

      확률변수 X의 확률분포가 다음과 같을 때 σ(X)는?

      X 4 6 8 합계
      P(X) 1/4 1/2 1/4 1
      • E(X) = 6 = (4×1/4)+(6×1/2)+(8×1/4)
      • V(X) = 2 = 38 - 36 = (4+18+16) - 62
      • σ(X) = √2

  4. 변수 변경시 평균과 분산 구하는 법

    • E(aX+b) = aE(X)+b
    • V(aX+b) = a2V(X)
    • σ(aX+b) = |a|σ(X) = |a|√{V(X)} = √{a2V(X)} = √{V(aX+b)}

(예제) 확률변수 X의 평균이 5, 분산이 2일 때 확률변수 -3X+2의 E(X)와 σ(X)는?

  • E(-3X+2) = -13 = -3E(X)+2
  • σ(-3X+2) = 3√2 = 3σ(X)

(예제) 확률변수 X의 확률분포가 다음과 같을 때 확률변수 2X+5의 평균은?

X 0 1 2 3 합계
P(X) 7/30 4/15 4/15 7/30
  • E(2X+5) = 8 = 2E(X)+5

(예제) 확률변수 X의 평균이 9, 표준편차가 2일 때 확률변수 Y=3X2-5X의 평균은?

  • E(X2) = 85
    • V(E) = E(X2) - {E(X)}2 → 4 = E(X2) - 81
  • 3E(X2) - 5E(X) = E(3X2-5X)
    • E(Y) = 210 = 255 - 45

3. 연속 확률 분포

  1. 이산확률분포와 연속확률분포의 비교
    이산확률분포 연속확률분포
    떨어져 있는 이어져 있는
    갯수, 횟수, 주사위눈 등 길이, 무게, 시간 등
    확률질량함수 확률밀도함수
    확률분포표 그래프(넓이 = 확률)
  2. 연속 확률 분포에서 확률은 넓이이며, 전체넓이 즉 전체 확률은 1

(예제) 0 ≤ x ≤ 6 에서 정의된 연속확률변수 X의 확률밀도함수 f(X)=kx의 그래프가 다음과 같을 때, P(0 ≤ x ≤ 3)의 확률은?
f(X)=kx 그래프

  • (x=6일 때 함수값 확인) x = 6일때 f(X) = 6k
  • (전체 확률 조건으로 k 산출) k = 1/18, 1(전체확률=전체넓이) = 가로×세로/2 = (6×6k)/2
  • (k값이 적용된 확률밀도함수 확정) 확률밀도함수 f(X)=(1/18)x
  • (x=3일 때 함수값 확인) x = 3일때 f(x) = 1/6
  • (0 ≤ x ≤ 3 구간 확률 계산) P(0 ≤ x ≤ 3) = 1/4 = 3×(1/6)/2

(예제) 연속확률변수 X의 확률밀도함수 y = f(x)의 그래프가 다음과 같을 때 P(2 ≤ x ≤ 3)의 확률은? y=f(X)의 그래프

  • (전체 확률 조건으로 a 산출) a = 2/3, 1 = (3·a)/2
  • (점-기울기 공식) y - y1 = {(y2 - y1)/(x2 - x1)}·(x - x1)
  • (x=2일 때 함수값 확인) f(x) = -1/3·(x - 3) = {(2/3 - 0) / (1 - 3)}·(x - 3)
  • (2 ≤ x ≤ 3 구간 확률 계산) P(2 ≤ x ≤ 3) = 1/6 = {1·1/3}/2

4. 이항분포

  1. 독립시행: 어떤 시행의 결과가 다른 시행의 결과에 영향을 주지 않을 때

    주사위를 3번 던질 때,
    1의 눈이 0번 나올 확률 3C0·(1/6)0·(5/6)3
    1의 눈이 1번 나올 확률 3C1·(1/6)1·(5/6)2
    1의 눈이 2번 나올 확률 3C2·(1/6)2·(5/6)1
    1의 눈이 3번 나올 확률 3C3·(1/6)3·(5/6)0

  2. 이항분포: 독립시행으로 이루어진 확률분포

    • 주사위를 3번 던질 때, 1의 눈이 나오는 횟수 X
      X 0 1 2 3 합계
      P(X) 125/216 25/216 5/216 1/216 1
    • 이항분포 B(3,1/6) n=시행횟수, p=확률

      (예제) 확률변수 X가 이항분포 B(4, 3/4)을 따를 때, P(X=2)는? 9/256

      X 0 1 2 3 4 합계
      P(X) 4C2·(3/4)2·(1/4)2 1

      (예제) 이항분포 B(5, 1/3)을 따르는 확률변수 X에 대하여 P(X≥4)는? 11/243

      X 0 1 2 3 4 5 합계
      P(X) 5C4·(1/3)4·(2/3)1 5C5·(1/3)5·(2/3)0 1

  3. 이항분포에서 E(X), V(X), σ(X) 구하는 공식

    • E(X) = n·p
    • V(X) = n·p·q, q=(1-p)
    • σ(X) = √V(X)

      (예제) 확률변수 X가 이항분포 B(16, 1/4)을 따를 때, E(X), V(X), σ(X)는?

      • E(X) = 4 = 16·1/4
      • V(X) = 3 = 16·1/4·3/4
      • σ(X) = √3

      (예제) 확률변수 X가 이항분포 B(242, 9/11)을 따를 때, E(X), V(X), σ(X)는?

      • E(X) = 198 = 242·9/11
      • V(X) = 36 = 242·9/11·2/11
      • σ(X) = 6 = √36

5. 정규분포

  1. 표현식: N(m,σ2) N(평균, 분산)
  2. 정규분포곡선의 작성
    1. 수평의 x축 생성
    2. 평균 m을 기준으로 삼아
    3. 좌우 대칭인 종 모양 그래프 작성 정규분포곡선 그래프
  3. 확률 산출: 정규분포곡선에서 제시된 구간에 해당하는 넓이
  4. 표준정규분포표의 해석
    z P(0≤Z≤z)
    1.0 0.3413
    2.0 0.4772
    3.0 0.4987
    • (걸음 수) Z = X - m(거리)/σ(보폭)
    • (거리) X - m
    • (보폭) σ
    • (해석) 가운데(평균)부터 1걸음까지 걸었을 때의 넓이는 0.3413
    • (표준화) X → Z

(예제) 확률변수 X가 정규분포 N(30, 42)을 따를 때, 다음 표준정규분포표를 이용하여 P(22≤X≤42)는?

z P(0≤Z≤z)
1.0 0.3413
2.0 0.4772
3.0 0.4987

0.9759 = 0.4772(P(22≤평균)구간) + 0.4987(P(평균≤42)구간)

(예제) 확률변수 X가 정규분포 N(30, 52)을 따를 때, 다음 표준정규분포표를 이용하여 P(25≤X≤40)는?

z P(0≤Z≤z)
1.0 0.3413
2.0 0.4772
3.0 0.4987

0.8185 = 0.3413(P(25≤평균)구간) + 0.4772(P(평균≤40)구간)

(예제) 확률변수 X가 정규분포 N(20, 42)을 따를 때, 다음 표준정규분포표를 이용하여 P(18≤X≤24)는?

z P(0≤Z≤z)
0.5 0.1915
1.0 0.3413
1.5 0.4332
2.0 0.4772

0.5328 = 0.1915(P(18≤평균)구간) + 0.3413(P(평균≤24)구간)

6. 표준정규분포의 이해

  1. 표준정규분포표: 정규분포표의 표준
  2. 표준화(X → Z)의 이론적 배경
    1. Z(걸음 수) 구하기 = 걸음 수가 같으면 확률도 동일
      • 확률변수 X가 정규분포 N(5, 12)을 따를 때, P(5≤X≤6)
      • 확률변수 X가 정규분포 N(100, 52)을 따를 때, P(100≤X≤105)
      • 확률변수 X가 정규분포 N(70, 32)을 따를 때, P(70≤X≤73)
      • 확률변수 X가 정규분포 N(45, 52)을 따를 때, P(45≤X≤50)
    2. 표준정규분포: N(0, 12)
  3. 표준화 공식
    • P(a≤X≤b) = P{(a-m)/σ≤Z≤(b-m)/σ}
  4. 결론 동일한 넓이

(예제) 확률변수 X가 정규분포 N(30, 42)을 따를 때, 다음 표준정규분포표를 이용하여 P(22≤X≤42)는?

z P(0≤Z≤z)
1.0 0.3413
2.0 0.4772
3.0 0.4987

(풀이) P(22≤X≤42) = P{(30-22)/4≤Z≤(42-30)/4}
= P(-2≤Z≤3) = P(-2≤Z≤0) + P(0≤Z≤3) = P(0≤Z≤2) + P(0≤Z≤3) = 0.4772 + 0.4987 = 0.9759

7. 표본평균의 분포

  1. 정규분포 N(m,σ2)는 통계적 추정에 필요
  2. 통계적 추정이란 모평균의 추청
  3. 모평균과 모분산은 모집단의 평균과 분산인데, 실생활에서는 모집단의 값을 알기란 불가능
  4. 그래서 n개의 표본을 임의 추출하여 구해진 평균, 즉 표본평균(x̄)들이 어떻게 분포하고 있는지 알아보는 것을 표본평균의 분포로 이해
  5. 표본평균의 분포식 X̄~N(m,(σ/√n)2)에서,
    • 표본평균의 평균은 모평균과 동일
    • 표본평균 x̄의 분포는, 모집단이 정규분포를 따르거나 표본 크기가 충분히 크면, 중심극한정리에 의해 정규분포를 따름.
    • 표본평균의 분산은 모집단의 분산을 표본 크기로 나눈 값

(예제) 모평균이 10, 모분산이 16인 모집단에서 크기가 100인 표본을 임의추출할 때,

  • E(x̄) = 10
  • V(x̄) = 4/25 = (√16/√100)2
  • σ(x̄) = 2/5 = √(4/25)

(예제) 정규분포 N(40, 62)을 따르는 모집단에서 크기가 9인 표본을 임의추출한 표본평균을 x̄라 할때, P(38≤X≤44)는?

z P(0≤Z≤z)
1.0 0.3413
1.5 0.4332
2.0 0.4772
2.5 0.4938
  • X̄의 분포 = X̄N(40, 22) = X̄N(40, (6/√9)2)
  • P(38≤X≤44) = 0.8185 = 0.3413+0.4772 = P{1≤X≤2} = P{(40-38)/2≤X≤(44-40)/2}

(예제) 정규분포 N(45, 62)을 따르는 모집단에서 크기가 4인 표본을 임의추출한 표본평균을 x̄라 할때, P(42≤X≤51)는?

z P(0≤Z≤z)
0.5 0.1915
1.0 0.3413
1.5 0.4332
2.0 0.4772
  • X̄의 분포 = X̄N(45, 32) = X̄N(45, (6/√4)2)
  • P(38≤X≤44) = 0.8185 = 0.3413+0.4772 = P{1≤X≤2} = P{(45-42)/3≤X≤(51-45)/3}

8. 모평균의 추정

  1. 95%의 신뢰수준: 동일한 방법으로 표본을 무수히 반복 추출해 신뢰구간을 계산했을 때, 그 구간이 실제 모집단 평균을 포함할 확률이 95%
  2. ±1.96의 구간: 모집단이 정규분포를 따른다고 가정할 때, 표준정규분포에서 양쪽 꼬리 확률이 각각 2.5%인 지점
  3. 정규분포에서 95%의 데이터가 평균으로부터 ±1.96 표준편차 범위 안에 들어온다는 결론
  4. 참고로 99% 신뢰수준은 2.58

(예제) 정규분포 N(m, 102)을 따르는 모집단에서 크기가 400인 표본을 임의추출 하였더니 표본평균이 112였다. 신뢰도 95%로 추정한 모평균 m의 신뢰구간(단, P(|Z|≤1.96)=0.95)

  • 모집단 N(m, 102)
  • 표본평균의 분포 X̄N(112, 1/22) = X̄N(112, (10/√400)2)
  • P(|Z| ≤ 1.96) = 0.95 = P{-1.96 ≤ X ≤ 1.96}
  • m의 신뢰구간 111.02 ≤ 112.98 = 112 ± 0.98 = 112 ±(1.96·1/2)

(예제) 정규분포 N(m, 52)을 따르는 모집단에서 크기가 100인 표본을 임의추출 하였더니 표본평균이 71였다. 신뢰도 99%로 추정한 모평균 m의 신뢰구간(단, P(|Z| ≤ 2.58) = 0.99)

  • 모집단 N(m, 52)
  • 표본평균의 분포 X̄N{71, (1 / 2)2} = X̄N{71, (5 / √100)2}
  • m의 신뢰구간 69.71 ≤ 72.29 = 71 ±1.29 = 71 ±(2.58·1/2)

평균·분산·표준편차·Z점수·기여도·상관계수 계산

직원 업무시간 분산 Z점수 생산량 분산 Z점수 기여도
평균 3.5 2.916666 5.5 4.916666 0.946255
표준편차 1.707825 2.217355
1 1 6.25 -1.463850 2 12.25 -1.578456 2.310623
2 2 2.25 -0.878310 4 2.25 -0.676481 0.594160
3 3 0.25 -0.292770 6 0.25 0.225493 -0.066017
4 4 0.25 0.292770 5 0.25 -0.225493 -0.066017
5 5 2.25 0.878310 7 2.25 0.676481 0.594160
6 6 6.25 1.463850 9 12.25 1.578456 2.310623

참고자료